数 列

1.数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前 项和公式的关系： .

注意： ; .

2.等差数列 中：

等差数列公差的取值与等差数列的单调性.

; .

、 也成等差数列.

两等差数列对应项和组成的新数列仍成等差数列.

仍成等差数列.

“首正”的递等差数列中，前 项和的值是所有非负项之和;

“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和;

有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在势必联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”-“奇数项和”=总项数的一半与其公差的积;若总项数为奇数，则“奇数项和”-“偶数项和”=此数列的中项.

两数的等差中项惟一存在.在遇见三数或四数成等差数列时，常考虑使用“中项关系”转化求解.

断定数列是不是是等差数列的主要办法有：概念法、中项法、通项法、和式法、图像法.

3.等比数列 中：

等比数列的符号特点，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性.

、 、 成等比数列; 成等比数列 成等比数列.

两等比数列对应项积组成的新数列仍成等比数列.

“首大于1”的正值递减等比数列中，前 项积的值是所有大于或等于1的项的积;“首小于1”的正值递增等比数列中，前 项积的最小值是所有小于或等于1的项的积;

有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在势必联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”=“奇数项和”与“公比”的积;若总项数为奇数，则“奇数项和”=“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.

并不是任何两数总有等比中项.仅当实数 同号时，实数 存在等比中项.对同号两实数 的等比中项不只存在，而且有一对 .也就是说，两实数要么没等比中项，假如有，必有一对.在遇见三数或四数成等差数列时，常优先考虑使用“中项关系”转化求解.

断定数列是不是是等比数列的办法主要有：概念法、中项法、通项法、和式法.

4.等差数列与等比数列的联系

假如数列 成等差数列，那样数列 必成等比数列.

假如数列 成等比数列，那样数列 必成等差数列.

假如数列 既成等差数列又成等比数列，那样数列 是非零常数数列;但数列 是常数数列只是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.

假如两等差数列有公共项，那样由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

假如一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那样常使用“由特殊到普通的办法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列.

注意：公共项只是公共的项，其项数未必相同，即研究 .但也有少数问题中研究 ，这个时候既需要项相同，也需要项数相同.三个数成等差的中项转化和通项转化法.

5.数列求和的常用办法：

公式法：①等差数列求和公式，

②等比数列求和公式，

分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“相同种类项”先合并在一块，再运用公式法求和.

倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数有关联，则常可考虑使用倒序相加法，发挥其共性有哪些用途求和.

错位相减法：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那样常使用错位相减法，将它和转化为“一个新的的等比数列的和”求解.

裂项相消法：假如数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后有关联，那样常使用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论.

通项转换法。