1、课标解析
1.《普高数学课程》课程中明确指出"理解集合之间包括与相等的意思,能辨别给定集合的子集; 在具体情境中,知道全集与空集的意思."
2.重点:子集的定义
3.难题:元素与子集.是与包括之间有什么区别.
2、要素扫描
1. 子集的概念
假如集合中的任意一个元素都是集合的元素,则集合是集合的子集.也说集合包括于集合,或集合包括集合,记作或
2. 空集的概念
空集是任意一集合的子集,也就是说,对任意集合,都有.
3. 两集合相等
假如,则等于,记作=;反之,假如=,则.
4. 真子集的概念
假如,且中至少有一个元素不是,那样集合是集合的真子集,记作.以上条件还可概括为:假如,且,则.
5. 有限集合的子集个数
个元素的集合有个子集;有个非空子集;有个真子集;有个非空真子集.
6. 维恩图
这种图在数学上也称为文氏图.它仅仅起着说明各集合之间关系的示意图有哪些用途,因此,边界用直线还是曲线,乃实线还虚线都不重要,只须封闭并把有关元素或子集统统包在里边就好.决不可以理解成圈内的每一点都是这个集合的元素;至于边界上的点是不是是这个集合,也都不必考虑.
3、常识精讲
要点1区别
表示以空集,为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;
当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不可以混淆它们的含意.
要点2区别与
表示元素与集合之间的关系,如:;
表示集合与集合之间的关系,如等.
4、典题解悟
----------------------------------------------------基础在线----------------------------------------------------
[题型一]子集与真子集
假如集合中的任意一个元素都是集合的元素,则集合是集合的子集. 假如,且中至少有一个元素不是,那样集合是集合的真子集.
例1. 满足的集合是什么?
分析:由可知,集合必为非空集合;又由可知,此题即为求集合的所有非空子集。满足条件的集合有,共十五个非空子集。
此题可以借助有限集合的非空子集的个数的公式进行检验，，正确。
答案:15
例2. 已知，试确定A，B，C之间的关系。
分析:由题意可得:A={0，1} , B={，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}
答案:A，B，C之间的关系是
[题型二] 区别
是空集，是不含任何元素的集合;{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以{};{}更不是空集，而是单元素集合，只有一个元素，可见{}，{}，这也体现了"是集合还是元素，并非绝对的"。
例3. 判断正误
=
分析: 表示以为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;
当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不可以混淆它们的含意.
答案:;; ; ; ;.
[题型三] 集合的相等
例4. ，若，求。
分析:，即两集合的元素相同，有两种可能：
解得 ; 解得
∴或。
答案: 或。
例5. 含有三个实数的集合可表示为集合也可表示为集合,求.
分析:从集合相等及集合元素的特点入手.由集合元素的确定性及集合相等,得
=-----①,从而有,由于,所以代入①,得-----②,由②易知.当时,与集合的互异性不符,从而,,故.
答案:-----------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------------
1. 有关子集综合问题的解法
⑴在解子集的综合问题时，第一应该注意集合自己的转化，可以用列举法表述的，尽量用列举法，如此时的集合中的元素明确明确，使问题简单化。第二，解决这种问题常用到分类讨论的办法。如即可分两类讨论：⑴⑵，而对于⑴又可分两类讨论：⑴⑵，从而使问题得到解决。应该注意这样的情况易被遗漏。注意培养慎密的思维品质
⑵解决子集问题的又一常用办法是数形结合。第一还是集合的自己转换，依据题意，用合适的办法来描述集合，进行转换，然后借助数轴来体现子集的意思，即集合间的包括关系，再由图示找出相应的关系式，从而使问题得到解决。
例6. 已知集合，，若，求实数满足的条件。
分析:因为集合可用列举法表示为，所以可能等于，即;也会是的真子集，即=，或=，或=，从而求出实数满足的条件。
∵，且，可得
⑴当时，，由此可知，是方程的两根，
由韦达定理无解;⑵当时①,即=,=, ，解得，
此时，符合题意，即符合题意;
②，，解得，
综合⑴⑵知：满足的条件是。
答案:
例7. 已知集合，，且，求实数的取值范围。
分析:此题要分和两种状况讨论。
⑴， 即，依题意，有，在数轴上作出包括关系图形，如图：有解得;⑵,即，解得;
综合以上两种状况，可知实数的取值范围是。
答案:
-----------------------------------------------错解点击-----------------------------------------------
例8. ⑴已知集适用列举法写出;
⑵已知集适用列举法写出。
错解: ⑴=
⑵=
正解: ⑴=
⑵=
剖析:认识一个集合并不是十分容易, 集合本身也可以做另外集合的元素.
⑴由已知条件注意到中的元素的属性是，即是的子集, 可以是, ∴=
⑵由已知条件注意到中的元素的属性是,即是的元素, 可以是,∴=
5、课本习题分析
习题1-1A1.2.
6、同步自测
-----------------------------------------------双基练习-----------------------------------------------
1.集合的子集有 个
5
2.集合，，则有
以上都不是
3.满足关系式的集合的个数为

4.若集合M={x|x≤}，a=，则下列关系正确的是
.{a}M .{a}M .aM .aM
5. 下面六个关系式
① ②③ ④⑤⑥
其中正确的是
.①②③④.③⑤⑥ .①④⑤.①③⑤
6.已知集合和，那样
A. B. C. D.
7.设集合,则
A. B. C. D.=
8. 数集与的关系是
A. B. C. D.
9. 设集合则集合之间的关系是
. . . .以上都不对
10. 若则满足上述条件的集合有 个;
11. 设，，则 ;
12. 集合M={1，2，｝有______个子集，它们是 。
13.同时满足M{1，2，3，4，5}若a∈M，则6a∈M的非空集合M有多少?写出这类集合来。
14.已知求证：。
15.已知求实数的值。
-----------------------------------------------------综合提升-----------------------------------------------------
16. 已知 ， .若，则实数 的取值范围是 ;
17.数集X={x|x=12m+8n，m，n∈Z｝与数集Y={x|x=20p+16q，p，q∈Z｝之间的关系是 ;
18.集合P={x,1｝, Q={y,1,2｝, 其中x, y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9｝, 且P是Q的真子集, 把满足上述条件的一对有序整数作为一个点, 如此的点的个数是 个;
19.已知三个元素的集合 ， ,假如 ，那样 的值为 .
20. 已知，，求实数的取值集合。
21. 已知集合，，求的值。7、有关链接
康托尔的不朽功绩
前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说："康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进".因而只有当大家知道了康托尔在对无穷的研究中到底做出了些什么结论后才会真的了解他工作的价值之所在和海量反对之声之由来.
数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.由于这一缘由，在数学进步的经历中，数学家们一直以一种怀疑的见地看待无穷，并尽量回避这一定义.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词语引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了"无限"这一数学上的潘多拉盒子.下面就让大家来看一下盒子打开后他释放出的是什么.
"大家把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示."学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在同意这句话时根本没办法想到当年康托尔这样做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只不过把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来讲解.无限永远处在架构中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被叫做潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种看法.用他的话说，就是"......我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只不过一种说话的方法......"而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个架构完成了的东西，如此他就一定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.因为潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全方位胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有些方法，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了让人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使大家真的进入了一个很难捉摸的奇特的无限世界.
能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能打造一一对应的集合称为个数相同，用他一个人的定义是等势.因为一个无穷集可以与它的真子集打造一一对应比如同学们比较容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具备相同的个数.这与传统观念"全体大于部分"相矛盾.而康托尔觉得这恰恰是无穷集的特点.在此意义上，自然数集与正偶数集具备了相同的个数，他将它称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数[注]集合也是可数集时，一个非常自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出人预料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，好似有人描述的那样："点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星;而沉沉的夜空则由超越数构成."而当他得出这一结论时，大家所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等让人震撼的结果!然而，事情并未终结.魔盒一经打开就没办法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不一样的数目级，可分为不一样的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有些无穷集之间还存在着无穷多个层次.他获得了成功，并且依据无穷性有无穷种的学说，对各种不一样的无穷大打造了一个完整的序列，他称为"超限数".他用希伯莱字母表中第一个字母"阿列夫"来表示超限数的精灵，终他打造了关于无限的所谓阿列夫谱系
它可以无限延长下去.就如此他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种到今天让大家还感到有的异想天开的结论在当时会怎么样震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这类理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种"疾病"，有人嘲讽超限数是"雾中之雾"，称"康托尔走进了超限数的地狱".作为对传统观念的大改革，因为他开创了一片全新的范围，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论遭到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，可能大家可以把对他的反对看作是对他真的具备独创性成就的一种褒扬吧.
高考考试解密
考试知识点导航05考试大纲考试试题展示
考试知识点①知道映射的定义,理解函数的定义
1.解答案
2.解法一解法二答案考试知识点②
参考答案
-----------------------------------------------------1.2.1集合之间的关系-------------------------------------
1.D 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.B
10.四 11. {{0}，{1}}
12. 八个;
，{1}，{2}，{1，{1，2}}， {2，{1，2}}，{1，2}，{1，2，{1，2}}，{{1，2}}
13. 七个 ;
{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}
14. 依据真子集的概念证明。
15. 若，则=1或者-1，
若=1，则A={1，1，y},不成立，舍去=1;
若=-1，则A={-1，1，-y}，B={1，-1，}，=-，所以=0;
若=1，2=，则，2=，即=1，
前已证，应舍去。
综上所述，=-1，=0。16. 或17. ,,所以X=Y
18. x, y的值有以下几种可能的组合:
①x=2,y=3,4,5,6,7,8,9;②x=3,y=3;③x=4,y=4; ④x=5,y=5; ⑤x=6,y=6; ⑥x=7,y=7; ⑦x=8,y=8;⑧x=9,y=9;
所以答案为1419.所以答案为-2
20. 先将集合A用列举法表示,再依据条件,分状况讨论B中元素的状况,求a的值. A={-4，2}，关于B，分三种状况讨论：
B={-4}
B={2}
B={-4，2}，
所以的取值的集合是{-4，2}。
21. 有两种可能:①或者②注意所以答案为.